把決策問題可以按照難易程度分為幾類：

（1）P問題：可以在多項(xiàng)式（ polynomial ）時(shí)間內(nèi)解決的問題，稱為P問題。

（2）NP問題：對(duì)于一類問題，我們可能沒有一個(gè)已知的快速的方法得到問題的答案，但給定一個(gè)解，我們可以在P時(shí)間內(nèi)檢查他正確與否的決策問題，成為NP（ Non－deterministic polynomial）問題。

（3）NP－h(huán)ard問題：用一句話概括他們的特征就是“at least as hard as the hardest problems in NP Problem”。

【多項(xiàng)式級(jí)時(shí)間復(fù)雜度：O（1），O（log（n）），O（n＾a）等。因?yàn)橐?guī)模n出現(xiàn)在底數(shù)的位置�！�

1．1 Max－Minsum Dispersion Problem

Max－Minsum DP就是一個(gè)典型的NP－Hard問題，屬Equity－based dispersion problems，試圖從較大的集合中選擇一組元素時(shí)解決公平與效率的平衡，應(yīng)用廣泛然而計(jì)算難度較大。
簡(jiǎn)單來講，就是要從一個(gè)集合中選擇一個(gè)子集合，使得子集合中某個(gè)所選元素到其他所選元素之間距離的最小和最大化。

舉個(gè)例子，假如說你一天要完成5個(gè)任務(wù)，現(xiàn)在有10項(xiàng)任務(wù)供你選擇，煮飯30分鐘，做菜30分鐘，衣服機(jī)洗30分鐘，做作業(yè)20分鐘，燒開水10分鐘，吃飯15分鐘等，你是個(gè)聰明的無聊人，知道有些活兒可以一起干以節(jié)省時(shí)間，又想讓這5項(xiàng)任務(wù)占用你更多的時(shí)間以打發(fā)無聊，這便是個(gè)簡(jiǎn)單的Max－Minsum DP。

再舉個(gè)更貼近實(shí)際的，對(duì)于網(wǎng)頁排名問題，即是標(biāo)識(shí)網(wǎng)頁等級(jí)或重要性。最早的搜索引擎采用的是分類目錄的方法，即通過人工對(duì)網(wǎng)頁進(jìn)行分類并整理出高質(zhì)量網(wǎng)站。隨著網(wǎng)頁數(shù)目的急劇增大，這種方法顯然無法實(shí)現(xiàn)，Larry Page和Sergey Brin受學(xué)術(shù)界對(duì)學(xué)術(shù)論文重要性的評(píng)估方法（論文引用次數(shù)）的啟發(fā)，提出了PageRank算法，如果一個(gè)網(wǎng)頁被很多其它網(wǎng)頁鏈接到，說明這個(gè)網(wǎng)頁很重要，它的PageRank值也會(huì)相應(yīng)較高，如果一個(gè)PageRank值很高的網(wǎng)頁鏈接到另外某個(gè)網(wǎng)頁，那么那個(gè)網(wǎng)頁的PageRank值也會(huì)相應(yīng)地提高。所以說找重要論文、相關(guān)論文就不免涉及到Max－Minsum DP。

更多的應(yīng)用如下圖：

1．2 Max－Minsum DP的數(shù)學(xué)描述

考慮一個(gè)含有n個(gè)元素的集合N＝｛1，2，．．．，n｝，每個(gè)元素包含著r個(gè)屬性，我們可以將一個(gè)元素用向量表示。問題在于選擇N的一個(gè)子集M，｜M｜為固定正整數(shù)m（m＜n），即從n個(gè)元素中選出m個(gè)元素，最大化所選元素到其他元素之間距離的最小和。

這個(gè)距離有多種算法，如歐幾里得距離，曼哈頓距離等。在這里我們使用最為常用的歐幾里得距離

問題可以表達(dá)為：

Part 2 模擬退火算法（SA）再回顧

在之前的推文【算法進(jìn)階】用模擬退火（SA， Simulated Annealing）算法解決旅行商問題中，已經(jīng)對(duì)模擬退火算法有了詳細(xì)介紹并給出了偽代碼及實(shí)例。在這里，我們簡(jiǎn)要復(fù)習(xí)，詳細(xì)參見以上推文。

2．1 SA算法介紹

模擬退火算法的基礎(chǔ)是metropolis算法。metropolis算法又稱為metropolis抽樣，其核心思想是：當(dāng)能量增加的時(shí)候以一定概率接納，而非一味拒絕。

所以，當(dāng)Y（i＋1）＞Y（i），則無條件接受；
???當(dāng)Y（i＋1）＜Y（i），則以一定的概率接受，而非全然拒絕。
??以一定概率接受一個(gè)比當(dāng)前解較差的解，從而在一定程度上避免陷入局部最優(yōu)。
??然而應(yīng)當(dāng)如何計(jì)算這個(gè)概率呢？根據(jù)熱力學(xué)的原理，在溫度為T時(shí)，出現(xiàn)能量差為dE的降溫的概率為P（dE），表示為：

其中k是一個(gè)常數(shù)，且dE＜0（溫度總是降低的）。

1）溫度越高，出現(xiàn)一次能量差為dE的降溫的概率就越大。

2）溫度越低，則出現(xiàn)降溫的概率就越小。

3）本問題將內(nèi)能E模擬為目標(biāo)函數(shù)值 f。

具體算法介紹

通過鄰域動(dòng)作產(chǎn)生新的集合M，產(chǎn)生新解及當(dāng)前解，計(jì)算即smallestDelta。若當(dāng)前解的smallestDelta小于最優(yōu)解的smallestDelta，則更新最優(yōu)解為當(dāng)前解，否則以模擬退火的那個(gè)概率接受當(dāng)前解，然后降溫。重復(fù)之前步驟，直到滿足退出條件。

現(xiàn)在拿一個(gè)小算例來操作一下：

現(xiàn)有一點(diǎn)集N＝｛（0，1），（1，2），（3，4），（4，5），（6，6），（8，7）｝，我們要從中選出m個(gè)點(diǎn)構(gòu)成點(diǎn)集M，就取m＝3吧，目標(biāo)函數(shù)是我們挑選的這3個(gè)點(diǎn)中的某一點(diǎn)到其余2個(gè)點(diǎn)的距離之和的最小值，而問題在于找到使目標(biāo)函數(shù)值最大的那3個(gè)點(diǎn)。

3．1 初始解生成

就小算例而言，我們就隨機(jī)選3個(gè)點(diǎn)，你不妨可以擲骰子，我擲的是5，2，1，那我們就�。�6，6）， （1，2）， （0，1）這三個(gè)點(diǎn)，不妨將這三個(gè)點(diǎn)重新標(biāo)記為，

以為中心點(diǎn)，則；

以為中心點(diǎn)，則；

以為中心點(diǎn)，則；

不難看出，smallestDelta為Δ2，故初始解也是當(dāng)前最優(yōu)解即為M＝｛（6，6），（1，2），（0，1）｝，對(duì)應(yīng)為。
??而就本問題而言，對(duì)于初始解，我們亦是隨機(jī)產(chǎn)生，距離矩陣?yán)�用洗牌算法隨機(jī)生成1－100的距離，隨機(jī)選擇m個(gè)元素構(gòu)成s1，未被選中的即為s0，為了識(shí)別M和NM，我們利用n維向量?＝ （?1 ， ?2 ， ． ． ． ， ?n ），其中，則，對(duì)應(yīng)的集合M即為初始解，也作為最優(yōu)解。

3．2 鄰域動(dòng)作

采用exchange算子：從被選擇的元素的集合中隨機(jī)選擇元素u，即u∈M，從不被選擇的元素的集合中隨機(jī)選擇元素v，即v∈NM，交換u， v。拿上文小算例N＝｛（0，1），（1，2），（3，4），（4，5），（6，6），（8，7）｝舉個(gè)例子，從、、中隨機(jī)選擇，即∈M，從、、中隨機(jī)選擇，即∈NM，交換、，此時(shí)得到新解，以三點(diǎn)分別為中心點(diǎn)，故、不變得到

以為中心點(diǎn)，則；

以為中心點(diǎn)，則；

以為中心點(diǎn)，則；

不難看出，smallestDelta為Δ2，故最優(yōu)解更新，變?yōu)镸＝｛（4，5），（1，2），（0，1）｝，對(duì)應(yīng)為。

3．3 去重優(yōu)化

對(duì)于本問題，給定鄰域解和對(duì)應(yīng)向量（?1 ， ?2 ， ． ． ． ， ?n ），目標(biāo)值可以在O（M）時(shí)間內(nèi)計(jì)算，此外，若是兩個(gè)元素u∈M，v∈NM交換，則向量?＝ （?1 ， ?2 ， ． ． ． ， ?n ）可以在O（N）時(shí)間內(nèi)快速更新，具體可表示為下圖：

為了通俗易懂，接著拿上文小算例N＝｛（0，1），（1，2），（3，4），（4，5），（6，6），（8，7）｝舉例，比較3．1及3．2計(jì)算Δ過程不難看出，對(duì)于未改變的點(diǎn)，即以為中心點(diǎn)、以為中心點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的Δ計(jì)算過程只改變了一半，這部分就是我們可以優(yōu)化的部分，因?yàn)榱硗庖话胛覀兙筒挥迷僦貜?fù)計(jì)算了，

；

；

當(dāng)數(shù)據(jù)越來越龐大之后，這部分優(yōu)化帶來的效益就會(huì)體現(xiàn)得更加明顯，時(shí)間復(fù)雜度大幅減少。

而對(duì)于改變的點(diǎn)，

，基本上就是重算。

代碼分享

算例為隨機(jī)生成，具體實(shí)現(xiàn)如下：

＃include＜iostream＞

＃include＜cstdlib＞

＃include＜cmath＞
＃include＜string＞
＃include＜ctime＞
const int MAX ＝ 0x7fffffff；
const int N ＝ 1000；  ／／最大的范圍
const int M ＝ 500；  ／／要選擇的集合大小
const int K ＝ 100；  ／／兩點(diǎn)間距離的最大值為K（距離默認(rèn)為1－K）
const int max＿count ＝ 10； ／／當(dāng)前溫度的最大迭代次數(shù)
const double T0 ＝ 50000．0； ／／初始溫度
const double T＿end ＝ 1e－8； ／／退火結(jié)束溫度
const double q ＝ 0．98； ／／退火系數(shù)
int＊ elements； ／／共計(jì)N個(gè)點(diǎn)
int＊＊ distance；  ／／距離矩陣
clock＿t start＿total， end＿total；  ／／計(jì)時(shí)器，整個(gè)程序
clock＿t start＿delta， end＿delta；  ／／計(jì)時(shí)器，直接計(jì)算delta的步驟
struct Solution ／／解
｛
int＊ s0； ／／未被選中的數(shù)
int＊ s1； ／／被選中的數(shù)
int＊ delta； ／／到其他s1中的數(shù)的距離和
int smallestDelta； ／／最大的delta，及目標(biāo)函數(shù)值
int center； ／／核心數(shù)
｝iniSolution， bestSolution，solution1；
／／分配存儲(chǔ)空間
void init＿solution（Solution＊ s）
｛
s－＞s0 ＝ new int［M］；
s－＞s1 ＝ new int［N － M］；
s－＞delta ＝ new int［M］；
s－＞smallestDelta ＝ 0；
｝
／／撤銷iniSolution， bestSolution，solution1所占存儲(chǔ)空間
void dispose（Solution＊ s）
｛
delete［］（s－＞s0）；s－＞s0 ＝ NULL；
delete［］（s－＞s1）；s－＞s1 ＝ NULL；
delete［］（s－＞delta）；s－＞delta ＝ NULL；
｝
／／深拷貝solution類型
void copy＿solution（Solution＊ ini， Solution＊ obj）
｛
for （int i ＝ 0； i ＜ M； i＋＋）
 obj－＞s1［i］ ＝ ini－＞s1［i］；
for （int i ＝ 0； i ＜ M； i＋＋）
 obj－＞s0［i］ ＝ ini－＞s0［i］；
for （int i ＝ 0； i ＜ M； i＋＋）
 obj－＞delta［i］ ＝ ini－＞delta［i］；
obj－＞smallestDelta ＝ ini－＞smallestDelta；
obj－＞center ＝ ini－＞center；
｝
／／計(jì)算所有delta的值
void calculate＿delta（Solution＊ s）
｛
for （int i ＝ 0； i ＜ M； i＋＋）
｛
 s－＞delta［i］ ＝ 0；
 for （int j ＝ 0； j ＜ M； j＋＋）
  s－＞delta［i］ ＋＝ distance［s－＞s1［i］］［s－＞s1［j］］；
｝
｝
／／ 在所有delta中找出smallest delta以及對(duì)應(yīng)的中心數(shù)
void calculate＿sum（Solution＊ s）
｛
s－＞smallestDelta ＝ s－＞delta［0］；
s－＞center ＝ s－＞s1［0］；
for （int i ＝ 0； i ＜ M； i＋＋）
｛
 if （s－＞delta［i］ ＜ s－＞smallestDelta）
 ｛
  s－＞smallestDelta ＝ s－＞delta［i］；
  s－＞center ＝ s－＞s1［i］；
 ｝
｝
｝
／／更新的方法算出delta的值（將s0［v］與s1［u］交換）
void update＿delta（Solution＊ s， int u， int v， int deltav）
｛
for （int i ＝ 0； i ＜ M； i＋＋）
｛
 if （i ＝＝ u）  ／／其自身delta的改變
  s－＞delta［u］ ＝ deltav － distance［s－＞s0［v］］［s－＞s1［u］］；
 else   ／／其他delta需將與s1［u］的距離轉(zhuǎn)換為與s0［v］的距離
  s－＞delta［i］ ＝ s－＞delta［i］ － distance［s－＞s1［u］］［s－＞s1［i］］ ＋ distance［s－＞s0［v］］［s－＞s1［i］］；
｝
｝
void init（）
｛
／／為距離矩陣隨機(jī)生成1－100的距離
for （int i ＝ 0；i ＜ N；i＋＋）
 for （int j ＝ 0；j ＜ i；j＋＋） ／／因?yàn)榫嚯x矩陣是對(duì)稱的
  distance［i］［j］ ＝ distance［j］［i］ ＝ rand（） ％ K ＋ 1； ／／距離為1－K
for （int i ＝ 0；i ＜ N；i＋＋）
 distance［i］［i］ ＝ 0；
／／隨機(jī)生成初始解
for （int i ＝ 0； i ＜ N； i＋＋）
 elements［i］ ＝ i；
／／洗牌算法打亂
for （int i ＝ 0； i ＜ N； i＋＋）
｛
 int index ＝ rand（） ％ （N － i） ＋ i；
 if （index �。� i）
 ｛
  int temp ＝ elements［i］；
  elements［i］ ＝ elements［index］；
  elements［index］ ＝ temp；
 ｝
｝
／／初始化，分配數(shù)組空間
init＿solution（＆iniSolution）；
／／前M個(gè)為s1，后面為s0
for （int i ＝ 0；i ＜ M；i＋＋）
 iniSolution．s1［i］ ＝ elements［i］；
for （int i ＝ M， j ＝ 0；i ＜ N；i＋＋， j＋＋）
 iniSolution．s0［j］ ＝ elements［i］；
／／計(jì)算delta
start＿delta ＝ clock（）；
calculate＿delta（＆iniSolution）；
end＿delta ＝ clock（）；
／／計(jì)算smallest＿delta
calculate＿sum（＆iniSolution）；
／／bestSolution拷貝iniSolution
init＿solution（＆bestSolution）；
copy＿solution（＆iniSolution， ＆bestSolution）；
dispose（＆iniSolution）；
／／for （int i ＝ 0；i ＜ M；i＋＋） std：：cout ＜＜ bestSolution．s1［i］ ＜＜ std：：endl；
｝
void SA＿search（） ／／模擬退火算法Simulated Annealing
｛
srand（（unsigned）time（NULL））； ／／初始化隨機(jī)數(shù)種子
double T ＝ T0； ／／初始溫度
int count＿total ＝ 0； ／／記錄降溫次數(shù)
while （T ＞ T＿end） ／／ 當(dāng)溫度低于結(jié)束溫度時(shí)，退火結(jié)束
｛
 for （int count ＝ 0；count ＜＝ max＿count；count＋＋） ／／count記錄當(dāng)前溫度迭代次數(shù)
 ｛
  int deltav ＝ 0； ／／計(jì)算deltav
  ／／產(chǎn)生新解solution1
  init＿solution（＆solution1）；
  copy＿solution（＆bestSolution， ＆solution1）；
  double r1 ＝ （（double）rand（）） ／ （RAND＿M(jìn)AX ＋ 1．0）；
  double r2 ＝ （（double）rand（）） ／ （RAND＿M(jìn)AX ＋ 1．0）；
  int v ＝ （int）（（N － M） ＊ r1）； ／／s0中交換點(diǎn)的位置
  int u ＝ （int）（M ＊ r2）； ／／s1中交換點(diǎn)的位置
  for （int u ＝ 0；u ＜ M；u＋＋） ／／對(duì)選中的數(shù)（s1）進(jìn)行循環(huán)
   deltav ＋＝ distance［bestSolution．s0［v］］［bestSolution．s1［u］］；
  update＿delta（＆solution1， u， v， deltav）；
  int temp ＝ solution1．s0［v］；
  solution1．s0［v］ ＝ solution1．s1［u］；
  solution1．s1［u］ ＝ temp；
  calculate＿sum（＆solution1）； ／／計(jì)算smallest＿delta
  double f1， f2， df；
  f1 ＝ bestSolution．smallestDelta；
  f2 ＝ solution1．smallestDelta；
  df ＝ f2 － f1；
  double r ＝ （（double）rand（）） ／ （RAND＿M(jìn)AX）； ／／0－1之間的隨機(jī)數(shù)，用來決定是否接受新解
  if （df ＞＝ 0）
   copy＿solution（＆solution1， ＆bestSolution）；
  else if （r ＜ exp（df ／ T）） ／／若隨機(jī)數(shù)小于p，接受新解
   copy＿solution（＆solution1， ＆bestSolution）；
  dispose（＆solution1）；
  count＋＋；
 ｝
 T ＊＝ q； ／／降溫
 count＿total＋＋；
 std：：cout ＜＜ ＂第＂ ＜＜ count＿total ＜＜ ＂次降溫， 當(dāng)前溫度：＂ ＜＜ T ＜＜ ＂，當(dāng)前最優(yōu)解：＂ ＜＜ bestSolution．smallestDelta ＜＜ std：：endl；
｝
｝
void print＿info（）
｛
std：：cout ＜＜ ＂max－min sum answer：＂ ＜＜ bestSolution．smallestDelta ＜＜ std：：endl；
std：：cout ＜＜ ＂one delta run time：＂ ＜＜ （double）（end＿delta － start＿delta） ／ CLOCKS＿PER＿SEC ＜＜ std：：endl；
std：：cout ＜＜ ＂total run time：＂ ＜＜ （double）（end＿total － start＿total） ／ CLOCKS＿PER＿SEC ＜＜ std：：endl；
std：：cout ＜＜ ＂模擬退火算法，初始溫度T0＝＂ ＜＜ T0 ＜＜ ＂，降溫系數(shù)q＝＂ ＜＜ q ＜＜ ＂，每個(gè)溫度迭代＂ ＜＜ max＿count ＜＜ ＂次＂ ＜＜ std：：endl；
｝
int main（）
｛
／／初始化數(shù)組，分配空間
elements ＝ new int［N］；
distance ＝ new int＊ ［N］；
for （int i ＝ 0；i ＜ N；i＋＋）
 distance［i］ ＝ new int［N］；
init（）；
start＿total ＝ clock（）；
SA＿search（）； ／／模擬退火算法進(jìn)行搜索
end＿total ＝ clock（）；
／／打印結(jié)果
print＿info（）；
dispose（＆bestSolution）；
delete［］elements；
for （int i ＝ 0；i ＜ N；i＋＋）
 delete［］distance［i］；
delete［］distance；
system（＂pause＂）；
return 0；
｝

結(jié)果如圖：

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參考文獻(xiàn)：

xiangjing Lai，Dong Yue，Jin－Kao Hao，F(xiàn)red Glover ＂Solution－based tabu search for the maximum min－sum dispersion problem．＂ Information Sciences 441 （2018） 79－94．

－The End－

文案／代碼／排版：朱正雄

指導(dǎo)學(xué)長(zhǎng)：周航

指導(dǎo)老師：秦虎  華中科技大學(xué)管理學(xué)院