MeanShift算法可以稱之為均值漂移聚類，是基于聚類中心的聚類算法，但和k－means聚類不同的是，不需要提前設(shè)定類別的個數(shù)k。在MeanShift算法中聚類中心是通過一定范圍內(nèi)樣本密度來確定的，通過不斷更新聚類中心，直到最終的聚類中心達(dá)到終止條件。整個過程可以看下圖，我覺得還是比較形象的。

MeanShift向量

MeanShift向量是指對于樣本X1，在以樣本點(diǎn)X1為中心，半徑為h的高維球區(qū)域內(nèi)的所有樣本點(diǎn)X的加權(quán)平均值，如下所示，同時也是樣本點(diǎn)X1更新后的坐標(biāo)。

而終止條件則是指 ｜ Mh（X） － X ｜＜ε，滿足條件則樣本點(diǎn)X1停止更新，否則將以Mh（X）為新的樣本中心重復(fù)上述步驟。

核函數(shù)

核函數(shù)在機(jī)器學(xué)習(xí)（SVM，LR）中出現(xiàn)的頻率是非常高的，你可以把它看做是一種映射，是計算映射到高維空間之后的內(nèi)積的一種簡便方法。在這個算法中將使用高斯核，其函數(shù)形式如下。

h表示帶寬，當(dāng)帶寬h一定時，兩個樣本點(diǎn)距離越近，其核函數(shù)值越大；當(dāng)兩個樣本點(diǎn)距離一定時，h越大，核函數(shù)值越小。核函數(shù)代碼如下，gaosi＿value為以樣本點(diǎn)X1為中心，半徑為h的高維球范圍內(nèi)所有樣本點(diǎn)與X1的高斯核函數(shù)值，是一個（m，1）的矩陣。

def gaussian＿kernel（self，distant）：    m＝shape（distant）［1］＃樣本數(shù)    gaosi＝mat（zeros（（m，1）））    for i in range（m）：        gaosi［i］［0］＝（distant．tolist（）［0］［i］＊distant．tolist（）［0］［i］＊（－0．5）／（self．bandwidth＊self．bandwidth））        gaosi［i］［0］＝exp（gaosi［i］［0］）    q＝1／（sqrt（2＊pi）＊self．bandwidth）    gaosi＿value＝q＊gaosi    return gaosi＿value

MeanShift向量與核函數(shù)

在01中有提到MeanShift向量是指對于樣本X1，在以樣本點(diǎn)X1為中心，半徑為h的高維球區(qū)域內(nèi)的所有樣本點(diǎn)X的加權(quán)平均值。但事實(shí)上是不同點(diǎn)對于樣本X1的貢獻(xiàn)程度是不一樣的，因此將權(quán)值（1／k）更改為每個樣本與樣本點(diǎn)X1的核函數(shù)值。改進(jìn)后的MeanShift向量如下所示。

其中

就是指高斯核函數(shù)，Sh表示在半徑h內(nèi)的所有樣本點(diǎn)集合。

MeanShift算法原理

在MeanShift算法中實(shí)際上利用了概率密度，求得概率密度的局部最優(yōu)解。

對于一個概率密度函數(shù)f（x），已知一個概率密度函數(shù)f（X），其核密度估計為

其中K（X）是單位核，概率密度函數(shù)f（X）的梯度估計為

其中G（X）＝－K＇（X）。第一個中括號是以G（X）為核函數(shù)對概率密度的估計，第二個中括號是MeanShift 向量。因此MeanShift向量是與概率密度函數(shù)的梯度成正比的，總是指向概率密度增加的方向。

而對于MeanShift向量，可以將其變形為下列形式，其中mh（x）為樣本點(diǎn)X更新后的位置。

MeanShift算法流程

在未被標(biāo)記的數(shù)據(jù)點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個點(diǎn)作為起始中心點(diǎn)X；

找出以X為中心半徑為radius的區(qū)域中出現(xiàn)的所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，認(rèn)為這些點(diǎn)同屬于一個聚類C。同時在該聚類中記錄數(shù)據(jù)點(diǎn)出現(xiàn)的次數(shù)加1。

以X為中心點(diǎn)，計算從X開始到集合M中每個元素的向量，將這些向量相加，得到向量Mh（X）。

mh（x） ＝Mh（X） ＋ X。即X沿著Mh（X）的方向移動，移動距離是｜｜Mh（X）｜｜。

重復(fù)步驟2、3、4，直到Mh（X）的很小（就是迭代到收斂），記住此時的X。注意，這個迭代過程中遇到的點(diǎn)都應(yīng)該歸類到簇C。

如果收斂時當(dāng)前簇C的center與其它已經(jīng)存在的簇C2中心的距離小于閾值，那么把C2和C合并，數(shù)據(jù)點(diǎn)出現(xiàn)次數(shù)也對應(yīng)合并。否則，把C作為新的聚類。

重復(fù)1、2、3、4、5直到所有的點(diǎn)都被標(biāo)記為已訪問。

分類：根據(jù)每個類，對每個點(diǎn)的訪問頻率，取訪問頻率最大的那個類，作為當(dāng)前點(diǎn)集的所屬類。

TIPS：每一個樣本點(diǎn)都需要計算其漂移均值，并根據(jù)計算出的漂移均值進(jìn)行移動，直至滿足終止條件，最終得到的均值漂移點(diǎn)為該點(diǎn)的聚類中心點(diǎn)。

MeanShift算法代碼

from numpy import ＊from matplotlib import pyplot as plt
class mean＿shift（）：    def ＿＿init＿＿（self）：        ＃帶寬        self．bandwidth＝2        ＃漂移點(diǎn)收斂條件        self．mindistance＝0．001        ＃簇心距離，小于該值則兩簇心合并        self．cudistance＝2．5
   def gaussian＿kernel（self，distant）：        m＝shape（distant）［1］＃樣本數(shù)        gaosi＝mat（zeros（（m，1）））        for i in range（m）：            gaosi［i］［0］＝（distant．tolist（）［0］［i］＊distant．tolist（）［0］［i］＊（－0．5）／（self．bandwidth＊self．bandwidth））            gaosi［i］［0］＝exp（gaosi［i］［0］）        q＝1／（sqrt（2＊pi）＊self．bandwidth）        gaosi＿value＝q＊gaosi        return gaosi＿value
   def load＿data（self）：        X ＝array（［    ［－4， －3．5］， ［－3．5， －5］， ［－2．7， －4．5］，    ［－2， －4．5］， ［－2．9， －2．9］， ［－0．4， －4．5］，    ［－1．4， －2．5］， ［－1．6， －2］， ［－1．5， －1．3］，    ［－0．5， －2．1］， ［－0．6， －1］， ［0， －1．6］，    ［－2．8， －1］， ［－2．4， －0．6］， ［－3．5， 0］，    ［－0．2， 4］， ［0．9， 1．8］， ［1， 2．2］，    ［1．1， 2．8］， ［1．1， 3．4］， ［1， 4．5］，    ［1．8， 0．3］， ［2．2， 1．3］， ［2．9， 0］，    ［2．7， 1．2］， ［3， 3］， ［3．4， 2．8］，    ［3， 5］， ［5．4， 1．2］， ［6．3， 2］，［0，0］，［0．2，0．2］，［0．1， 0．1］，［－4， －3．5］］）        x，y＝［］，［］        for i in range（shape（X）［0］）：            x．a(chǎn)ppend（X［i］［0］）            y．a(chǎn)ppend（X［i］［1］）        plt．scatter（x，y，c＝＇r＇）        ＃ plt．plot（x， y）        plt．show（）        classlable＝mat（zeros（（shape（X）［0］，1）））        return  X，classlable
   def distance（self，a，b）：        v＝a－b        return sqrt（v＊mat（v）．T）．tolist（）［0］［0］    def shift＿point（self，point，data，clusterfrequency）：        sum＝0        n＝shape（data）［0］        ou＝mat（zeros（（n，1）））        t＝mat（zeros（（n，1）））        newdata＝［］        for i in range（n）：            ＃ print（self．distance（point，data［i］））            d＝self．distance（point，data［i］）            if d＜self．bandwidth：                ou［i］［0］ ＝d                t［i］［0］＝1                newdata．a(chǎn)ppend（data［i］）                clusterfrequency［i］＝clusterfrequency［i］＋1        gaosi＝self．gaussian＿kernel（ou［t＝＝1］）        meanshift＝gaosi．T＊mat（newdata）        return meanshift／gaosi．sum（），clusterfrequency
   def group2（self，dataset，clusters，m）：        data＝［］        fre＝［］        for i in clusters：            i［＇data＇］＝［］            fre．a(chǎn)ppend（i［＇frequnecy＇］）        for j in range（m）：            n＝where（array（fre）［：，j］＝＝max（array（fre）［：，j］））［0］［0］            data．a(chǎn)ppend（n）            clusters［n］［＇data＇］．a(chǎn)ppend（dataset［j］）        print（＂一共有％d個簇心＂ ％ len（set（data）））        ＃ print（clusters）        ＃ print（data）        return clusters
   def plot（self，dataset，clust）：        colors ＝ 10 ＊ ［＇r＇， ＇g＇， ＇b＇， ＇k＇， ＇y＇，＇orange＇，＇purple＇］        plt．figure（figsize＝（5， 5））        plt．xlim（（－8， 8））        plt．ylim（（－8， 8））        plt．scatter（dataset［：， 0］，dataset［：， 1］， s＝20）        theta ＝ linspace（0， 2 ＊ pi， 800）        for i in range（len（clust））：            cluster ＝ clust［i］            data ＝ array（cluster［＇data＇］）            if len（data）：                plt．scatter（data［：， 0］， data［：， 1］， color＝colors［i］， s＝20）            centroid ＝cluster［＇centroid＇］．tolist（）［0］            plt．scatter（centroid［0］， centroid［1］， color＝colors［i］， marker＝＇x＇， s＝30）            x， y ＝ cos（theta） ＊ self．bandwidth ＋ centroid［0］， sin（theta） ＊  self．bandwidth  ＋ centroid［1］            plt．plot（x， y， linewidth＝1， color＝colors［i］）        plt．show（）
   def mean＿shift＿train（self）：        dataset， classlable ＝ self．load＿data（）        m ＝ shape（dataset）［0］        clusters ＝ ［］        for i in range（m）：            max＿distance ＝ inf            cluster＿centroid ＝ dataset［i］            ＃ print（cluster＿centroid）            cluster＿frequency ＝zeros（（m，1））            while max＿distance＞self．mindistance：                w，cluster＿frequency ＝ self．shift＿point（cluster＿centroid，dataset，cluster＿frequency）                dis ＝ self．distance（cluster＿centroid， w）                if dis ＜ max＿distance：                    max＿distance ＝ dis                    ＃ print（max＿distance）                cluster＿centroid ＝ w            has＿same＿cluster ＝ False            for cluster in clusters：                if self．distance（cluster［＇centroid＇］，cluster＿centroid）＜self．cudistance：                    cluster［＇frequnecy＇］＝cluster［＇frequnecy＇］＋cluster＿frequency                    has＿same＿cluster＝True                    break            if not has＿same＿cluster：                clusters．a(chǎn)ppend（｛＇frequnecy＇：cluster＿frequency，＇centroid＇：cluster＿centroid｝）        clusters＝self．group2（dataset，clusters，m）        print（clusters）        self．plot（dataset，clusters）
if ＿＿name＿＿＝＝＂＿＿main＿＿＂：    shift＝mean＿shift（）    shift．mean＿shift＿train（）

得到的結(jié)果圖如下。

之后還會詳細(xì)解說K－means聚類以及DBSCAN聚類，敬請關(guān)注。