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在三維空間中表示平面和直線

平面和直線是三維計(jì)算機(jī)視覺和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中有用的幾何實(shí)體。將它們表示為一組點(diǎn)是低效的,這會(huì)導(dǎo)致很大的內(nèi)存需求,具體取決于用于生成點(diǎn)的步長(zhǎng)。

在本文中,我將討論如何使用向量方程表示平面和直線。我還將介紹如何使用向量形式找到直線和平面之間的交點(diǎn)。

三維線條

我們可以用下面的等式[1]表示向量形式的直線。

p = l? + l * ** d,** d ∈ R

其中,I是一個(gè)向量,表示直線方向,l?是直線上的一個(gè)點(diǎn),d是標(biāo)量。

p是直線上的通用點(diǎn),這些點(diǎn)定義了線。因此,為了定義直線,我們只需要知道6個(gè)數(shù)字/參數(shù),就可以用向量形式完整地表示它。

我創(chuàng)建了一個(gè)類來表示線向量并繪制它。它由一個(gè)vector和一個(gè)point_on_line參數(shù)化,它們都是3x1 numpy列向量。

要在直線上獲得點(diǎn),我們可以使用該方程。通過縮放vector改變d。

image.png

我將展示一些樣本行。

向量(1,1,1)點(diǎn)(0,0,0);

如果你想要一條橫跨二維平面的線,那么你可以使用一個(gè)在兩個(gè)坐標(biāo)中只有非零值的向量,你將在二維平面中得到一條線。向量(1,1,0)點(diǎn)(0,0,0):

三維平面

我們可以用下面的等式表示向量形式的平面。

(pp?) *  n = 0,其中n是平面的法向(垂直)向量,p?是平面上的點(diǎn)。

上述方程式中所有點(diǎn)p的軌跡定義了該平面。(p — **p?)**表示平面中的向量,n表示平面的正交向量或法向量。因此,對(duì)于平面上所有點(diǎn)p的這些向量,相互正交的這兩個(gè)向量的點(diǎn)積將為零。

用六個(gè)數(shù)字來表達(dá)一個(gè)平面十分優(yōu)雅!

下面是Python中使用上述定義的平面類。

image.png

接下來,讓我們看看如何找到直線和平面的交點(diǎn)。

3D中點(diǎn)與平面的交點(diǎn)

現(xiàn)在我們知道了如何在3D中表示點(diǎn)和平面,我們可以看看如何找到這兩個(gè)幾何圖形之間的交點(diǎn)。

如果一條直線和某個(gè)平面在點(diǎn)p相交,它將同時(shí)滿足直線和平面方程。因此,為了找到交點(diǎn),將p的值從直線方程代入平面方程。

(( **l? + l * ** d) — p?* n = 0

展開這些項(xiàng)可以得到以下等式。

l *  n) d + (l? — p?) *  n = 0

求解d得到:

d = (p? — l?) *  n / (l *  n)

這返回給我們一個(gè)點(diǎn),該點(diǎn)位于直線和平面上。

有三種情況。

首先是直線和平面平行,但直線不在平面內(nèi)。

接下來是,正好有一個(gè)交點(diǎn)。

最后,直線平行于平面并在平面中,在這種情況下,直線中的每個(gè)點(diǎn)也將位于平面上。因此,在這種情況下,將有無限多個(gè)點(diǎn)同時(shí)滿足這兩個(gè)方程。

對(duì)于前兩個(gè)案例,l *  n = 0,因?yàn)閷?duì)于它們,I垂直于法向量n。否則,我們將得到一個(gè)實(shí)數(shù)d,它可以在直線方程中替換回來,以得到交點(diǎn):

p = l? + l * d

我已經(jīng)為平面和直線類編寫了一個(gè)基于上述方程計(jì)算交點(diǎn)的函數(shù)。請(qǐng)注意,函數(shù)是相同的等式,唯一不同的是代碼語法。class Line:

image.png

image.png

現(xiàn)在,我們可以使用plane和line類來查找它們之間的交點(diǎn)。例如:

image.png

我們可以使用Symphy驗(yàn)證結(jié)果:

image.png

我們也使用Symphy實(shí)現(xiàn)來驗(yàn)證我們的代碼。

結(jié)論

在本文中,我們研究了3D中的線和平面。我們看到了它們的向量方程,以及如何用一個(gè)向量和一個(gè)點(diǎn)來表示它們。這是一個(gè)非常緊湊的表示,只有六個(gè)數(shù)字。我們最終了解了如何找到兩者之間的交叉點(diǎn),并查看了三種可能的交叉點(diǎn)情況。

參考文獻(xiàn)

image.png



       原文標(biāo)題 : 在三維空間中表示平面和直線

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